Kubik Funksiya - Wikipedia - Ureyim.az

Funksiyanın böhran (kritik) nöqtələri x`in elə qiymətləridir ki orada funksiyanın toxunanı 0`dır. f(x) = ax³ + bx² + cx + d funksiyasının böhran nöqtələri x`in elə qiymətində təyin olunur ki, o qiymətdə funksiyanın birinci törəməsi 0 olsun:

${\displaystyle 3ax^{2}+2bx+c=0.}$ 

Bu tənliyin həlləri kubik funksiyanın böhran nöqtələridir. Və bu düsturla tapıla bilər:

${\displaystyle x_{\text{critical}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-3ac}}}{3a}}.}$ 

Kökaltı ifadə

${\displaystyle \Delta _{0}=b^{2}-3ac}$ ,

funksiyanın böhran nöqtələrinin tipini müəyyən edir. Əgər

Δ₀ > 0, olarsa o zaman kubik funksiyanın lokal minimum və lokal maksimumu var deməkdir. Əgər Δ₀ = 0, olarsa deməli, funksiyanın əyilmə nöqtəsi onun yeganə böhran nöqtəsidir. Əgər Δ₀ < 0, olarsa o zaman funksiyanın böhran nöqtələri yoxdur. Δ₀ ≤ 0, olduğu hallarda isə kubik funksiya ciddi monotonik funksiyadır.

 Δ₀ `ın qiyməti kubik funksiyanın köklərinin təyin olunmasında mühüm rol olnayır.

Funksiyanın böhran nöqtəsi elə bir nöqtədir ki, o nöqtədə funksiya çökəkliyini dəyişir. Böhran nöqtəsi bu nöqtədə yaranır.

${\displaystyle x_{\text{inflection}}=-{\frac {b}{3a}},}$ 

Həmçinin qiymət də kubik funksiyanı həll etmək üçün vacibdir. Kubik funksiyanın böhran nöqtəsi ətrafında simmetriya nöqtəsi var. 

Yuxarıdakılara əsasən deyə bilərik ki, əmsallar da x dəyişəni kimi həqiqi ədədlərdir.

Ümumi kubik funksiyanın forması

ax3 + bx2 + cx + d =0 

 a ≠ 0 olduqda.

Funksiyanın köklərinin növü və sayı diskriminant vasitəsilə təyin olunur.

${\displaystyle \Delta =18abcd-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}-27a^{2}d^{2}.}$ 

Buradan çıxır ki:

• Əgər Δ > 0, olarsa tənliyin üç fərqli həqiqi kökü var.
• Əgər Δ = 0, olarsa tənliyin təkrarlanan kökü var və bu küklər həqiqi köklərdir.
• Əgər Δ < 0, olarsa tənliyin bir həqiqi və iki kompleks kökü var

Kubik funksiyanın ümumi həlli:

${\displaystyle \Delta _{0}=b^{2}-3ac{\text{,}}}$ 

${\displaystyle \Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d{\text{, and}}}$ 

${\displaystyle C={\sqrt[{3}]{\frac {\Delta _{1}\pm {\sqrt {{\Delta _{1}}^{2}-4{\Delta _{0}}^{3}}}}{2}}}{\text{.}}}$ 

(Əgər diskriminant Δ hesablanıbsa, o zaman bərabərlik Δ₁² − 4Δ₀³ = −27 a²Δ, C`nin həllini sadələşdirmək üçün istifadə oluna bilər) İfadədən alınan üç mümkün kök var hansı ki, onlardan ən az ikisi kompleks köklərdir.

Əmsallara uyğun ümumi düstur:

${\displaystyle x=-{\frac {1}{3a}}\left(b+C+{\frac {\Delta _{0}}{C}}\right){\text{.}}}$ 

Yuxarıdakı bərabərlik 3 kökü daxil etməklə bu cür ifadə oluna bilər:

${\displaystyle x_{k}=-{\frac {1}{3a}}\left(b+\zeta ^{k}C+{\frac {\Delta _{0}}{\zeta ^{k}C}}\right),\qquad k\in \{0,1,2\}{\text{,}}}$ 

ƏgərΔ və Δ₀ 0`a bərabər olarsa, o zaman tənliyin 1 kökü var (hansı ki üçqat kökdür):

${\displaystyle -{\frac {b}{3a}}{\text{.}}}$ 

Əgər Δ = 0 və Δ₀ ≠ 0, o zaman bu köklər ikiqat köklərdir

${\displaystyle {\frac {9ad-bc}{2\Delta _{0}}},}$ 

və bir sadə kök,

${\displaystyle {\frac {4abc-9a^{2}d-b^{3}}{a\Delta _{0}}}.}$